等边三角形的性质等边三角形的判定与性质三角形的证明一
直角三角形的性质直角三角形全等--HL知识点1等边三角形的性质
1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形； 2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.
【典例】
1.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为_________．
【答案】40°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵∠ADF=80°，
∴∠BD B′=180°-80°=100°， 由翻折可得∠B′DE=∠BDE，
1
∴∠B′DE=∠BDE=1∠BD B′=1×100°=50°
22∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-60°-50°=70°， 根据翻折可知，∠BE B′=2∠BED=140°， ∴∠GEC=180°﹣∠BE B′=180°﹣140°=40°． 故答案为：40°
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质，即它的每个内角都等于60°，结合翻折变换后的对应边相等，对应角相等，得到所求角与所给角度数之间的关系．
2.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线交于点A2016，则∠A2016的度数是（ ）
B.15C.15 D.15 A.1520132014201520162222【答案】B.
【解析】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1， ∴∠A1BC=
1∠ABC，∠ACD=1∠ACD，
1
22∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠A+∠ABC, ∴∠A1+∠A1BC=
1∠ACD =1（∠A+∠ABC）=1∠A+∠ABC，
1
2222
1∠A=60， 221， 同理可得∠A2=∠A1=60222． …，∠An=60n215． 所以∠A2016=602201622014∴∠A1=故选：B．
【方法总结】
本题考查了等边三角形的内角等于60°，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的
1是解题的关键．
2【随堂练习】
1．（2018•平顶山三模）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B、C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2018，1）的是点（ ）
A．A和B B．B和C C．C和A D．C 【解答】解：由题意可知：
第一次滚动：点A、B经过点（2，1）， 第二次滚动：点B、C经过点（3，1）， 第三次滚动：点A、C经过点（4，1），
3
第四次滚动：点A、B经过点（5，1）， …
发现，每三次一循环，所以（2018﹣1）÷3=672…余1，
∴这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2018，1）的是点A、B， 故选：A．
知识点2等边三角形的性质与判定
判定方法：
1.三个边都相等的三角形是等边三角形； 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【典例】
1.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形； ②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形． 上述说法中，正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
4
【答案】A.
【解析】解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形； ②若添加条件为∠B=∠C， 又∵∠A=60°， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C， 则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD， 求证：△ABC为等边三角形． 证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠AEC=90°， 在Rt△ADC和Rt△CEA中，
ACCADCEA， ∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL）， ∴∠ACE=∠BAC=60°， ∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°， ∴AB=AC=BC，
5
即△ABC为等边三角形， 综上，正确的说法有3个． 故选：A．
【方法总结】
本题考查的是等边三角形的判定，熟练掌握以下能使等边三角形成立的条件： 1.三个角都是60°或三个边都相等； 2.一个角是60°的等腰三角形.
其余叙述方式，均需要向这两条转化，然后进行判断.
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．
【解析】证明：如图，延长BD至F，使DF=BC，连接EF，
∵EC=ED， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠ECB=∠EDF，
6
∴△ECB≌△EDF（SAS）， ∴BE=EF， ∵∠B=60°，
∴△BEF为等边三角形， ∴BE=BF， ∵AE=BD， ∴BE-AE=BF-BD ∴AB=DF， ∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形．
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键，要证一个三角形是等边三角形，已知一个60°的角，可再证一个角等于60°或一组边相等.
3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，∠EBC=∠BED=60°，AD平分∠BAC，求证：∠D=30°．
【解析】证明：如图，
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延长ED、AD分别交BC与点G、F， ∵∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD平分∠BAC， ∴AF⊥BC， 即∠DFG=90°， ∵∠EBC=∠BED=60°， ∴△BEG是等边三角形， ∴∠DGF=60°，
∴∠EDA=∠GDF=90°-∠DGF =90°-60°=30°．
【方法总结】
本题主要考查的是等边三角形的判定和性质，即有两个角是60°的三角形是等边三角形，还考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及三角形的内角和定理，准确作出辅助线是解题的关键.
【随堂练习】
1．（2017秋•高邮市期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=3，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求证：△CDE为等边三角形；
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【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∴△EDC是等边三角形，
2．（2017秋•吉州区期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD． （1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形， ∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
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∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°， ∴∠BCO=∠ACD， 在△BOC与△ADC中， ∵
，
∴△BOC≌△ADC， ∴∠BOC=∠ADC，
而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°， ∴∠ADO=150°﹣60°=90°， ∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b﹣d=10°，
∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO， ∴α﹣60°=50°，
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∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
知识点3直角三角形的性质
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
1.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【解析】证明：（1）∵△ABC为等边三角形． ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 在△BAE和△ACD中，
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AECD∠BAE∠ACD ABAC∴△BAE≌△ACD （2）答：BP=2PQ． 证明：∵△BAE≌△ACD， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BPQ为△ABP外角， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°， ∴BP=2PQ．
【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
2.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的长记为a2，以此类推，若OA1=3，则a2=_________，a2015=__________.
【答案】6；3×22014． 【解析】解：如图所示：
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∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°， ∴∠2=120°， ∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°， 又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°， ∵∠MON=∠1=30°， ∴OA1=A1B1=3， ∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， ∴a2=2a1=6， a3=4a1， a4=8a1，
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a5=16a1，
以此类推：a2015=22014a1=3×22014 故答案是：6；3×22014．
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
3.如图，在锐角三角形ABC中，CM为AB边上的高，P为BC的中点，连接MP，在AC上找到一点N，使NP=MP，连接BN，试判断BN与AC的位置关系，并说明理由．
【解析】解：BN⊥AC． 理由如下：
∵CM为AB边上的高，P为BC的中点， ∴MP=
1BC=BP=CP，
2∵NP=MP， ∴NP= BP=CP，
∴∠1=∠2，∠3=∠ACB， ∵∠1+∠2+∠3+∠ACB =180°， ∴∠2+∠3=90°， ∴BN⊥AC．
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【方法总结】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质并准确识图是解题的关键． 能根据该性质和已知条件证得下面这一结论，即如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，并且这条边所对的角是直角. 【随堂练习】
1．（2017秋•新罗区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E．若DE=3，求AB的长．
【解答】解：∵AC边上的垂直平分线是DE， ∴CD=AD，DE⊥AC， ∴∠A=∠DCA=30°， ∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB﹣∠DCA =90°﹣30°=60°，
∵∠B=180°﹣∠ACB﹣∠A =180°﹣90°﹣30° =60°
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∴∠BCD=∠B=60° ∴BD=CD，
∴BD=CD=AD=AB， ∵DE=3，DE⊥AC，∠A=30° ∴AD=2DE=6， ∴AB=2AD=12．
2．（2017秋•科尔沁区期中）如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF是AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=FC．
【解答】证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°，
∵EF为AB的垂直平分线， ∴BF=AF，
∴∠BAF=∠B=30°， ∴∠FAC=120°﹣30°=90°， ∵∠C=30°，
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∴AF=CF， ∵BF=AF， ∴BF=FC．
3．（2017秋•南岗区期末）如图1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．
（1）求证：BE=BF；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
【解答】（1）证明：∠ABC=90°，BA=BC，点D为斜边AC的中点， ∴BD⊥AC，∠DBC=45°， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAF=22.5°， ∴∠BFE=67.5°，
∴∠BEF=180°﹣∠EBF﹣∠EFB=67.5°， ∴∠BFE=∠BEF， ∴BE=BF；
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（2）∵∠ABC=90°，BA=BC，点D为斜边AC的中点， ∴BD=AD=CD，
∴△ABD、△CBD是等腰三角形， 由已知得，△ABC是等腰三角形， 由（1）得，△BEF是等腰三角形，
∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线， ∴点E是△ABC的内心， ∴∠EAC=∠ECA=22.5°， ∴△AEC是等腰三角形．
知识点4 直角三角形全等—HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【典例】
1. 如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，且BD=CE，BD与CE
相交于点O，连接AO．求证：AO垂直平分BC.
【解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90°， 在Rt△BEC和Rt△CDB中 ∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
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∴∠ABC=∠ACB，∠ECB=∠DBC， ∴AB=AC，BO=OC，
∴点A、O在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC.
【方法总结】在图形中证明三角形全等的时候，若出现直角三角形，然后再给出两边分别对应相等，就一定会有全等，若给出的是两条直角边，则利用SAS证明两三角形全等，若给出的是一条直角边和斜边对应相等，则我们利用HL得全等。 【随堂练习】
1. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线
上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
【解析】解：猜想：BF⊥AE． 理由：∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD=90°． ∴在Rt△BDC与Rt△AEC中 ，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）． ∴∠CBD=∠CAE． 又∴∠CAE+∠E=90°．
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∴∠EBF+∠E=90°． ∴∠BFE=90°， 即BF⊥AE．
综合运用
1.如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=_________．
【答案】45°
【解析】解：由翻折的性质可知；∠AFE=∠EFD． ∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°，∠A=∠EDF=60°． ∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形， ∴∠FDB=30°，
∴∠BFD=180°-∠FDB-∠B=90° ∴∠AFD=180°-∠BFD =90°， ∴∠EFD=∠AFE =故答案为：45°
2.如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF=___________．
1∠AFD =45°
．
220
【答案】6
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC， ∴△PHF为等边三角形，∴PF=PH，PD=BH， 又△AHE为等边三角形，∴HE=AH，
∴PD+PE+PF=BH+PE+PH=BH+HE=BH+AH=AB △ABC的周长为18 ∴AB=6，∴PD+PE+PF=6． 故填6
3.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线， ∴AD⊥BC，∠CAD=30°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=
180∠CAD18030 =75°
，
22∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
4.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
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【解析】解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF， ∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS）， ∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
5.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．
【解析】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠CAB， ∵∠DAE﹣∠CAE=∠CAB﹣∠CAE， ∴∠DAC=∠EAB， 在△ADC和△AEB中，
ADAE∠DAC∠EAB， ACAB∴△ADC≌△AEB． ∴CD=BE．
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6.如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？
【解析】解：△BEF为正三角形 证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a， ∴DE=CF，
∵△ABD和△CBD是等边三角形， ∴∠BDA=∠BCD=60°， 在△BDE和△BCF中，
BDBC∠BDE∠BCF， DECF∴△BDE≌△BCF， ∴BE=BF，∠DBE=∠CBF， 又∵∠CBF+∠FBD=60°， ∴∠FBD+∠DBE=60°， 即∠EBF=60°，
∴△BEF为等边三角形．
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