第2章 一元二次方程
1．2017·常德一元二次方程3x－4x＋1＝0的根的情况为( ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
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2．2017·怀化若x1，x2是一元二次方程x－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是( ) A．2 B．－2 C．4 D．－3
2
3．2017·泰安一元二次方程x－6x－6＝0配方后化为( )
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A．(x－3)＝15 B．(x－3)＝3
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C．(x＋3)＝15 D．(x＋3)＝3
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4．2017·淄博若关于x的一元二次方程kx－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0 C．k＜－1 D．k＜－1或k＝0
2
5．2017·益阳如果关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，那么下列结论一定成立的是( )
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A．b－4ac＞0 B．b－4ac＝0
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C．b－4ac＜0 D．b－4ac≤0
6．2017·衡阳中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年人均收入200美元，预计2017年年人均收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，则可列方程为( )
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A．200(1＋2x)＝1000 B．200(1＋x)＝1000
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C．200(1＋x)＝1000 D．200＋2x＝1000
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7．2017·温州我们知道方程x＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程
2
(2x＋3)＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
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8．2017·常州已知x＝1是关于x的方程ax－2x＋3＝0的一个根，则a＝________． 9．2017·德州方程3x(x－1)＝2(x－1)的根为____________．
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10．2017·遂宁已知x1，x2是方程x－3x－1＝0的两根，则＋＝________．
2
x1x2
11．2017·岳阳在△ABC中，BC＝2，AB＝2 3，AC＝b，且关于x的方程x－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．
2
图2－Y－1
12．2016·巴彦淖尔如图2－Y－1，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计
2
划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m.
13．2017·丽水解方程：(x－3)(x－1)＝3.
2
14．2017·湘潭由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，
2
即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
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示例：分解因式：x＋5x＋6＝x＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
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(1)尝试：分解因式：x＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；
2
(2)应用：请用上述方法解方程：x－3x－4＝0.
2
15．2016·湘潭已知关于x的一元二次方程x－3x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求m的取值范围；
(2)当x1＝1时，求另一个根x2的值．
16．2017·北京关于x的一元二次方程x－(k＋3)x＋2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
17．2017·菏泽某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元/个时，厂家每天可获利润20000元？
18．2016·永州某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品的进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
19．2017·重庆某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克；
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，
2
今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
1．D 2．D 3．A 4．B 且k≠0.
2
5．A [解析] ∵方程有两个不相等的实数根，∴b－4ac＞0.
6．B [解析] 2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意
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得2017年年人均收入为200(1＋x)，列出方程为200(1＋x)＝1000.
2
7．D [解析] 把方程(2x＋3)＋2(2x＋3)－3＝0看作关于2x＋3的一元二次方程，所以2x＋3＝1或2x＋3＝－3，所以x1＝－1，x2＝－3.故选D.
8．－1 [解析] 把x＝1代入方程，得a－2＋3＝0，解得a＝－1.
2
9．x1＝1，x2＝ [解析] 3x(x－1)＝2(x－1)，移项得3x(x－1)－2(x－1)＝0，即(x32
－1)(3x－2)＝0，∴x－1＝0，3x－2＝0，解方程得x1＝1，x2＝.
3
12
10．－3 [解析] ∵x1，x2是方程x－3x－1＝0的两根，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴＋
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[解析] ∵Δ＝b－4ac＝(－4)－4×3×1＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根． [解析] 根据根与系数的关系，即可得出x1x2＝－3.
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[解析] 方程整理得x－6x＝6，配方得x－6x＋9＝15，即(x－3)＝15.故选A.
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[解析] 根据题意得k≠0且Δ＝b－4ac＝(－2)－4k·(－1)＞0，解得k＞－1
x1
1
x2
＝
x1＋x23
＝＝－3. x1x2－1
11．2 [解析] ∵关于x的方程x－4x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4b＝0，
2
2
2
2
解得b＝4，∴AC＝b＝4.∵BC＝2，AB＝2 3，∴BC＋AB＝AC，∴△ABC是直角三角形，AC1
是斜边，∴AC边上的中线长＝AC＝2.故答案为2.
2
12．2
2
13．解：方程可化为x－4x＝0，x(x－4)＝0， 所以x1＝0，x2＝4.
22
14．解：(1)x＋6x＋8＝x＋(2＋4)x＋2×4＝(x＋2)(x＋4)，故答案为2，4.
2
(2)∵x－3x－4＝0，
x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0， ∴(x＋1)(x－4)＝0，
∴x＋1＝0或x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.
2
15．解：(1)∵关于x的一元二次方程x－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，
22
∴b－4ac＝(－3)－4×1×m＝9－4m>0， 9∴m<.
4
(2)根据一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－，得1＋x2＝3，∴x2＝2.
16．解：(1)证明：∵在方程x－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝b－4ac＝[－(k＋3)]－
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4×1×(2k＋2)＝k－2k＋1＝(k－1)≥0，
∴方程总有两个实数根．
2
(2)∵x－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1. ∵方程有一个根小于1， ∴k＋1＜1，解得k＜0，
2
2
2
ba
∴k的取值范围为k＜0.
17．解：设销售单价为x元/个，
由题意，得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000，
2
整理，得x－920x＋211600＝0， 解得x1＝x2＝460.
答：这种玩具的销售单价为460元/个时，厂家每天可获利润20000元． 18．解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，
2
依题意得400×(1－x%)＝324， 解得x＝10或x＝190(舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件， 第一次降价后的单件利润为400×(1－10%)－300＝60(元)， 第二次降价后的单件利润为324－300＝24(元)． 依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2400≥3210， 解得m≥22.5. ∴m≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
19．解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克， 根据题意得400－x≤7x，解得x≥50. 答：该果农今年收获樱桃至少50千克． (2)由题意可得：
100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20， 令m%＝y，则原方程可化为3000(1－y)＋4000(1＋2y)(1－y)＝7000，
2
整理可得8y－y＝0， 解得y1＝0，y2＝0.125，
∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5，∴m2＝12.5. 答：m的值为12.5.
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